李变换群，就是李群作用于流形，这种“作用”其实就是变换，这种变换的集合构成的群。 就是李群的实现，或 李群的表示。

前面已经接触过了单参微分同胚群 \(\phi:\mathbb{R}\times M \to M\) 。只需要把 \(\mathbb{R}\) 换成李群 \(G\) 就得到了李变换群。

考虑李群 \(G\) 和流形 \(M\) ， \(C^\infty\) 映射 \(\sigma:G\times M\to M\) 成为上的一个李变换群，若

\(\sigma\) 可诱导出另外两个映射(方框中)：

条件2）保证了，从李群 \(G=\{g\}\) 到李变换群 \(\{\sigma_g:M\to M|g\in G\}\) 的自然映射 \(g\mapsto\sigma_g\) 是一个同态映射。这个同态映射成为 \(G\) 的一个实现，则称 \(M\) 为实现空间。 如果这个同态是同构，则称 \(G\) 为忠实实现。

可以说，李群 \(G\) 决定了流形 \(M\) 上的一个李变换群。

特别地，李群 \(G\) 的每个单参子群决定了流形 \(M\) 上的一个单参微分同胚群。

如图，李群 \(G\) 的李代数 \(\mathscr{G}\) 的一个元素 \(A_e\) 唯一确定一个单参数子群 \(\gamma(t)\) 。在流形 \(M\) 上任意选一点 \(p\) ，在单参子群 \(\gamma\in G\) 的作用下，得到流形 \(M\) 上的一个单参微分同胚群 \((\sigma_p\circ\gamma) (t)\) 。 进而在流形 \(M\) 的 \(p\) 点确定唯一的矢量 \(\xi_p\) ： \[ \xi_p=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\sigma_p(\gamma(t))=\sigma_{p*}\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\gamma(t)=\sigma_{p*}A_e \] 由此可见：

对于给定的李变换群 \(\sigma:G\times M\to M\) ，李群 \(G\) 的李代数 \(\mathscr{G}\) 的每个元素 \(A_e\) 对应流形 \(M\) 上的一个 \(C^\infty\) 矢量场 \(\xi\) 。 故有映射 \(\chi:\mathscr{G}\to \{\xi\}\)

进一步考虑一个特殊情况：带度规流形 \((M,g_{ab})\) ，而李群 \(G\) 是 \(M\) 的等度规群，即李变换群 \(\sigma:G\times M\to M\) 的每个 \(\sigma_g:M\to M\) 都是等度规映射。

这时，李群 \(G\) 的每个单参子群 \(\gamma(t)\) 产生的单参微分同胚群 \(\{\sigma_{\gamma(t)}|t\in \mathbb{R}\}\) 升格为单参等度规群。其轨道切矢 \(\xi\) 就是 \((M,g_{ab})\) 上的Killing矢量场。即，

Killing矢量场，在对易子为李括号下，也成为李代数。 事实上，映射 \(\chi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 对李括号保到只相差一个符号的程度：

于是有必要映入新的映射 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) ，能够保李括号：

进而保证了，映射 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 是李代数同态映射。

如果的每个Killing矢量场都是完备矢量场，则每个都能产生单参等度规群，进而等度规群 \(G\) （因而其李代数 \(\mathscr{G}\) ）与 \(\mathscr{K}\) 的维度相同，于是 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 就是李代数同构。

前面谈的是基于等度规映射Killing矢量场。并且在此基础上有三条性质：

但我们发现，即使不要求等度规，矢量场集合 \(\{\xi\}\) 也能满足这三条。所以不妨也可直接将 \(\{\xi\}\) 定义称Killing矢量场，称之为流形 \(M\) 上关于李群 \(G\) 的Killing矢量场。

以后说到“Killing矢量场”，如果没有加定语说明，表示原生意义上的Killing矢量场；如果加了如上定语约束，则是这里的“另类”Killing矢量场。

当然，如果对映射 \(\sigma:G\times M\to M\) 不加要求， \(\dim \mathscr{K}\) 可能小于 \(\dim \mathscr{G}\) 。

但是，如果映射 \(\sigma:G\times M\to M\) 是有效的，即

(这个条件等价于 \(g\mapsto \sigma_g\) 是一一映射， 还等价于 \(G\) 在 \(M\) 上的实现是忠实的)， 那么 \(\chi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 是同构映射，进而 \(\psi:\mathscr{G}\to \mathscr{K}\) 是李代数同构。

利用基于等度规映射的Killing矢量场计算等度规群的李代数的结构常数。

这里部分步骤，我可以用Julia来计算， 以后有类似的更复杂的，可以复制这段代码，作点修改就可以计算了。

【范例目标】：3维欧氏空间 \((\mathbb{R}^3,\delta_{ab})\) 中的2维球面 \((S^2,h_{ab})\) 。

首先，这个球面的等度规群是三维空间转动群 \(G=\mathrm{SO}(3)\) 。

其次，计算这个球面的诱导度规 \(h_{ab}\) :

计算结果： \(\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & \sin^{2} θ\end{bmatrix}\)

第三步：根据度规计算克氏符，然后列出所有Killing方程：

结果是： \(\begin{bmatrix}0 = 2 \frac{\partial}{\partial θ} \operatorname{ξ^{1}}{\left (θ,φ \right )}\\0 = \sin^{2}{\left (θ \right )} \frac{\partial}{\partial θ} \operatorname{ξ^{2}}{\left (θ,φ \right )} + \frac{\partial}{\partial φ} \operatorname{ξ^{1}}{\left (θ,φ \right )}\\0 = 2 \operatorname{ξ^{1}}{\left (θ,φ \right )} \sin{\left (θ \right )} \cos{\left (θ \right )} + 2 \sin^{2}{\left (θ \right )} \frac{\partial}{\partial φ} \operatorname{ξ^{2}}{\left (θ,φ \right )}\end{bmatrix}\)

第四步，求解这组方程的通解。

首先通过观察，很容易得到第一组特解：

然后，由方程１和３有 \(\xi^1(\theta,\varphi)=f(\varphi),\quad \xi^2(\theta,\varphi)=g(\theta)h(\varphi)\) ，回代方程3，并分离变量得：

当 \(C=0\) ，只有全0平凡解。所以必须 \(C\ne0\) ，于是有：

回代方程2得：

得到 \(h(\varphi)\) 得两个特解: \(\sin(\varphi),\quad \cos(\varphi)\) 。

最后，回代并整理得到剩余两个特解：

这三个特解，可选作Killing矢量场得一组基矢。

第五步，获得李代数得结构常数表达式 （只要写出，上面这三个基矢量的三组对易子即可）